Родился в крестьянской семье. После окончания семилетней школы работал термистом-инструментальщиком на Краснозаводском химическом заводе. В 1938 году был призван в РККА. Начинал службу матросом Тихоокеанского флота на батарее береговой охраны. Принял участие в боевых действиях Великой Отечественной войны, начиная со Сталинградской битвы. Был назначен командиром расчёта 45-миллиметровой пушки противотанкового взвода 88-го гвардейского стрелкового полка 33-й гвардейской стрелковой дивизии и сразу же попал в тяжёлые бои в районе Котельниково в декабре 1942 года. В первом же бою погиб расчёт орудия, Николай получил ранение, но продолжал в одиночку вести огонь из пушки до последнего снаряда. Дальнейший боевой путь проходил в составе войск Южного фронта освобождение Ростова-на-Дону, Таганрога, городов и сёл Донбасса, форсирование Днепра, освобождение Перекопа, бои в Крыму. Приказом по 10-му гвардейскому стрелковому корпусу от 8 февраля 1944 года старший сержант был награждён орденом Славы 3-й степени. Летом 1944 года полк был включён в состав 1-го Белорусского фронта для участия в Белорусской операции. 24 июня 1944 расчёт старшего сержанта Булычёва при прорыве обороны противника у деревни Углы Гомельской области, поддерживая огнём пехотинцев, вывел из строя тягач с орудием, два пулемёта, разрушил блиндаж и уничтожил множество вражеских солдат и офицеров. За этот героический поступок Николай Сазонович был награждён орденом Славы II степени приказом от 15 августа 1944 года. В феврале 1945 года Николай Булычёв получил орден Красной Звезды за отличие в боях по ликвидации Хейльсбергской группировки в районе города Прейсиш-Эйлау уже в составе войск 3-го Белорусского фронта. 30 апреля 1945 года день решающего штурма Рейхстага стал для Николая Сазоновича Булычёва днём ожесточённого сражения его полка с превосходящей группировкой вражеских войск, осуществлявшей прорыв по дороге, ведущей из Куммерсдорфа в Шёнефельд. За мужество и героизм Николай Булычёв был представлен к ордену Славы 1-й степени (указом Президиума Верховного Совета СССР от 27 июня 1945 года), но получил награду только весной 1947 года, уже после излечения от тяжёлых ранений, полученных в том бою. В августе 1945 года был демобилизован. Несмотря на полученную инвалидность, работал на московском заводе «Компрессор». Занялся образованием. По рекомендации руководства завода поступил в Высшую школу профсоюзного движения. А впоследствии получил рекомендацию на обучение в Высшей дипломатической школе МИД СССР. Окончил её в 1955 году. С 1955 года на службе в МИД СССР. Работал в центральном аппарате МИДа, в посольствах СССР в Албании, Йемене, Румынии и Республике Конго. Николаю Сазоновичу Булычёву был присвоен ранг Чрезвычайного и Полномочного посланника 1-го класса. В отставку он вышел в 1988 году с поста Генерального консула в городе Пуэнт-Нуар (Республика Конго). Награды и почётные звания: орден Славы трёх степеней (1944, 1944, 1945); орден Красной Звезды (1945); орден Отечественной войны 1 степени; орден Дружбы (1993); медали СССР и РФ; почётный гражданин города Краснозаводска. На Доме культуры города Краснозаводска 16 марта 2001 года открыта памятная доска в честь Н. С. Булычёва, а на Аллее славы города в 2007 году установлен его скульптурный бюст.