В 1941 году поступил в Московский авиационный институт, эвакуироваться вместе с институтом в Алма-Ату отказался. Устроился токарем на один из московских заводов. В армию был призван летом 1942 года, став курсантом Ленинградского артиллерийского училища. Выпущен через полгода учёбы в звании младшего лейтенанта, направлен на Сталинградский фронт командиром взвода связи в миномётной роте. С августа по ноябрь 1943 года, в связи с ранением, он находился на лечении, затем в резерве офицерского состава Юго-Западного фронта. С ноября 1943 года Гвардии лейтенант Осташев Е. И. воевал в должности командира огневого взвода батареи 120-ти миллиметровых миномётов 137-го Гвардейского стрелкового полка 47-й Нижнеднепровской Краснознамённой и ордена Богдана Хмельницкого Гвардейской стрелковой дивизии 8-й Гвардейской армии под командованием генерал-полковника Василия Ивановича Чуйкова в составе Юго-Западного, Южного фронтов и участвовал в Сталинградской битве, Корсунь-Шевченковской, Белорусской операциях, в боях на Днестре, под Витебском в составе 1-го Белорусского фронта. Окончание войны Е. И. Осташев встретил участвуя в Берлинской наступательной операции. По окончании Великой Отечественной войны продолжил службу в составе Группы Советских оккупационных войск в Германии, и в августе 1947 года, получил назначение на должность командира минометной роты 62-го Гвардейского механизированного полка 19-й Гвардейской механизированной дивизии 3-й ударной армии. В 1949 году Е. И. Осташев поступил на факультет реактивного вооружения артиллерийской Академии имени Ф.Э. Дзержинского по специальности "ракетное вооружение". В 1955 году окончив академию с отличием, и отказавшись от предложения остаться в адъюнктуре, Е.И. Осташев был направлен для продолжения службы в войсковую часть № 11284 - научно-исследовательский испытательный полигон № 5 Министерства обороны СССР (Байконур). В марте 1960 года инженер-подполковник Осташев Е. И. был назначен на должность начальника 1-го управления службы научных и опытно-испытательных работ (Войсковой части № 44275) для испытаний и эксплуатации ракет Р-7, Р-7А, Р-9 на низкокипящих компонентах топлива. Награждён многими медалями и орденами, является лауреатом Ленинской премии. Погиб 24 октября 1960 года на 41-й площадке полигона Байконур, во время намеченного первого испытательного пуска ракеты Р-16. Посмертно присвоено звание почётного гражданина города Байконур.